Yukicoder No.391 CODING WAR
solution
包除原理。$O(M)$。
$n$から$m$への対応で、$n$側も$m$側も尽されているようなものの数を数える。 全射$f : n \twoheadrightarrow m$の数と言ってもよい。 これは$m^n$から条件を満たさないものの数を引けば求まる。 包除原理で適当にして、$m^n - m \cdot (m-1)^n + \frac{m(m-1)}{2} \cdot (m-2)^n - \dots = \Sigma_{i \lt m} (-1)^i {}_mC_i (m-i)^n$が答え。
後から見つけた参考になるページ: http://mathtrain.jp/zensya
implementation
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cassert>
#define repeat(i,n) for (int i = 0; (i) < (n); ++(i))
#define repeat_from(i,m,n) for (int i = (m); (i) < (n); ++(i))
typedef long long ll;
using namespace std;
const ll mod = 1e9+7;
ll powi(ll x, ll y, ll p) {
assert (y >= 0);
x = (x % p + p) % p;
ll z = 1;
for (ll i = 1; i <= y; i <<= 1) {
if (y & i) z = z * x % p;
x = x * x % p;
}
return z;
}
ll inv(ll x, ll p) {
assert ((x % p + p) % p != 0);
return powi(x, p-2, p);
}
ll choose(ll n, ll r) { // O(n) at first time, otherwise O(1)
static vector<ll> fact(1,1);
static vector<ll> ifact(1,1);
if (fact.size() <= n) {
int l = fact.size();
fact.resize( n + 1);
ifact.resize(n + 1);
repeat_from (i,l,n+1) {
fact[i] = fact[i-1] * i % mod;
ifact[i] = inv(fact[i], mod);
}
}
r = min(r, n - r);
return fact[n] * ifact[n-r] % mod * ifact[r] % mod;
}
int main() {
ll n, m; scanf("%lld%lld", &n, &m);
if (n < m) {
printf("0\n");
} else {
ll ans = 0;
repeat (i,m) {
ans += (i % 2 ? -1 : 1) * powi(m-i, n, mod) * choose(m, i) % mod;
ans %= mod;
}
ans = (ans % mod + mod) % mod;
printf("%lld\n", ans);
}
return 0;
}