Yukicoder No.329 全射
圏?
solution
$O(N^3)$で自然に。全射$f : A \twoheadrightarrow B$の数は$O(N^2)$で求まる式がある。
まず、全射はひとつ作れることを確認するだけでよい。 全射$f : A \twoheadrightarrow B$が全射としたとき、任意の関数$g : A \to A$が使えるのでこれを適当な全単射とすれば、$f \circ g$として任意の全単射が作れる。
次に、合成関数$f_k \circ f_{k-1} \circ \dots \circ f_1 : A_1 \to A_{k+1}$を全射にするような$f_1, f2, \dots, f_k$が取れる条件を考える。 これは$1 \le i \le k$な$i$に関して$|A_i| \ge |A_{k+1}|$であればよい。
よって、終域$A$を固定し、$|B| \ge |A|$な頂点$B$のみを通って辿り着けるような頂点を列挙すればよい。 そのような頂点の大きさ$|B|$ごとに、全射の数を数えて足し合わせればよい。
全射の数については: http://mathtrain.jp/zensya
implementation
#include <iostream>
#include <vector>
#include <functional>
#include <cassert>
#define repeat(i,n) for (int i = 0; (i) < (n); ++(i))
#define repeat_from(i,m,n) for (int i = (m); (i) < (n); ++(i))
typedef long long ll;
using namespace std;
const int mod = 1e9+7;
ll second_kind_stirling(ll n, ll k) { // O(nk)
assert (0 <= n and 0 <= k);
if (n < k) return 0;
if (n == k) return 1;
if (k == 0) return 0;
static vector<vector<ll> > memo;
if (memo.size() <= n) {
int l = memo.size();
memo.resize(n + 1);
repeat_from (i,l,n+1) memo[i].resize(i);
}
if (memo[n][k]) return memo[n][k];
return memo[n][k] = (second_kind_stirling(n-1, k-1) + k * second_kind_stirling(n-1, k) % mod) % mod;
}
ll fact(ll n) {
static vector<ll> memo(1,1);
if (memo.size() <= n) {
int l = memo.size();
memo.resize(n + 1);
repeat_from (i,l,n+1) memo[i] = memo[i-1] * i % mod;
}
return memo[n];
}
int main() {
int n, m; cin >> n >> m;
vector<int> w(n); repeat (i,n) cin >> w[i];
vector<vector<int> > g(n);
repeat (k,m) {
int i, j; cin >> i >> j; -- i; -- j;
g[j].push_back(i); // inverse
}
ll ans = 0;
repeat (i,n) {
vector<bool> used(n);
function<void (int)> go = [&](int j) {
used[j] = true;
for (int k : g[j]) if (not used[k]) {
if (w[i] <= w[k]) {
go(k);
}
}
};
go(i);
repeat (j,n) if (used[j]) {
ans += fact(w[i]) * second_kind_stirling(w[j], w[i]) % mod;
}
}
ans = (ans % mod + mod) % mod;
cout << ans << endl;
return 0;
}