Yukicoder No.194 フィボナッチ数列の理解(1)
法とるあたりで沢山のWAを生みました。
No.194 フィボナッチ数列の理解(1)
解法
A. $2 \le N \le 10^4, N \lt K \le 10^6$ の場合
$O(N)$。
$\Sigma_{i \le n \lt i+K} f(n)$を更新しながら下から順に求めていく。
B. $2 \le N \le 30, N \lt K \le 10^{12}$ の場合
行列累乗。$O(N^3 \log K)$。
$F(K)$に関して、$N \times N$の行列 \({\mathbf F} = \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\) を累乗すればよい。
$S(K)$に関して、$F(i) = F(i-1) + F(i-2) + \dots + F(i-N) = S(i-1) - S(i-N-1)$であることを使って、$S(i) = F(i) + S(i-1) = 2S(i-1) - S(i-N-1)$。 これより、
$(N+1) \times (N+1)$の行列 \({\mathbf S} = \left( \begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\) を用いればよい。
実装
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define repeat(i,n) for (int i = 0; (i) < (n); ++(i))
#define repeat_from(i,m,n) for (int i = (m); (i) < (n); ++(i))
typedef long long ll;
using namespace std;
const ll mod = 1e9+7;
vector<vector<ll> > operator * (vector<vector<ll> > const & p, vector<vector<ll> > const & q) {
int n = p.size();
vector<vector<ll> > r(n, vector<ll>(n));
repeat (y,n) {
repeat (z,n) {
repeat (x,n) {
r[y][x] += p[y][z] * q[z][x] % mod;
r[y][x] %= mod;
}
}
}
return r;
}
vector<ll> operator * (vector<vector<ll> > const & p, vector<ll> const & q) {
int n = p.size();
vector<ll> r(n);
repeat (y,n) {
repeat (z,n) {
r[y] += p[y][z] * q[z] % mod;
r[y] %= mod;
}
}
return r;
}
int main() {
int n; ll k; cin >> n >> k; -- k;
vector<ll> a(n); repeat (i,n) cin >> a[i];
if (n <= 30) {
vector<vector<ll> > fe(n, vector<ll>(n));
repeat (i,n) fe[0][i] = 1;
repeat (i,n-1) fe[i+1][i] = 1;
vector<vector<ll> > se(n+1, vector<ll>(n+1));
se[0][0] = 2;
se[0][n] = mod - 1;
repeat (i,n) se[i+1][i] = 1;
vector<vector<ll> > f(n, vector<ll>(n)); repeat (i,n) f[i][i] = 1;
vector<vector<ll> > s(n+1, vector<ll>(n+1)); repeat (i,n+1) s[i][i] = 1;
for (int i = 0; (1ll<<i) <= k; ++ i) {
if (k&(1ll<<i)) {
f = f * fe;
s = s * se;
}
fe = fe * fe;
se = se * se;
}
vector<ll> x = a;
vector<ll> y(n+1); y[0] = a[0]; repeat (i,n-1) y[i+1] = y[i] + a[i+1]; y[n] = 2*y[n-1];
reverse(x.begin(), x.end());
reverse(y.begin(), y.end());
cout << (f * x)[n-1] << ' ' << (s * y)[n] << endl;
} else if (k <= 1e6) {
vector<ll> f(k+1); repeat (i,n) f[i] = a[i];
ll acc = accumulate(a.begin(), a.end(), 0ll);
ll sk = acc;
repeat_from (i,n,k+1) {
f[i] = acc;
sk = (sk + f[i]) % mod;
acc = (acc + f[i] - f[i-n] + mod) % mod;
}
cout << f[k] << ' ' << sk << endl;
}
return 0;
}