TopCoder SRM 676 Div1 Medium: BoardEscape
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解説
トークンは誰でも同じように動かせ、各トークンは独立であるので、impartial gameの和になっている。grundy数を求める。
grundy数を愚直に求めると$O(krc)$となり、明らかに間に合わない。 なんとなく、盤面のgrundy数全体の配列は$k$に関して周期性を持ちそうなので、書いてみると上手くいく。証明はできていない。
実装
#include <bits/stdc++.h>
#define repeat(i,n) for (int i = 0; (i) < (n); ++(i))
#define repeat_from(i,m,n) for (int i = (m); (i) < (n); ++(i))
using namespace std;
const int dy[] = { -1, 1, 0, 0 };
const int dx[] = { 0, 0, 1, -1 };
int mex(set<int> const & xs) {
int y = 0;
for (int x : xs) {
if (x == y) {
++ y;
} else {
break;
}
}
return y;
}
class BoardEscape {
public:
vector<vector<int> > grundy(vector<string> const & s, int k) {
int h = s.size();
int w = s[0].size();
vector<vector<vector<int> > > history;
map<vector<vector<int> >,int> lookup;
vector<vector<int> > g(h, vector<int>(w));
history.push_back(g);
lookup[g] = 0;
repeat_from (i,1,k+1) {
vector<vector<int> > f = g;
repeat (y,h) repeat (x,w) {
if (s[y][x] == 'E') {
g[y][x] = 0;
} else {
set<int> gs;
repeat (j,4) {
int ny = y + dy[j];
int nx = x + dx[j];
if (0 <= ny and ny < h and 0 <= nx and nx < w) {
if (s[ny][nx] != '#') {
gs.insert(f[ny][nx]);
}
}
}
g[y][x] = mex(gs);
}
}
if (lookup.count(g)) {
int j = lookup[g];
int loop = i - j;
return history[j + (k - i) % loop];
} else {
history.push_back(g);
lookup[g] = i;
}
}
return g;
}
string findWinner(vector<string> s, int k) {
int h = s.size();
int w = s[0].size();
vector<vector<int> > gss = grundy(s, k);
int g = 0;
repeat (y,h) repeat (x,w) {
if (s[y][x] == 'T') {
g ^= gss[y][x];
}
}
return g ? "Alice" : "Bob";
}
};