Mujin Programming Challenge 2018: F - チーム分け
solution
DP。余ってる人の数を状態に持つ。チームを大きさごとに構築する。$O(N^2 \log N)$。
「$i$番目の人まで決定して$j$チームあって $\dots$」の形だと適当に整列しても指数。 補集合を取っても簡単にはならない。 「$i$番目の人まで見て$j$人余っていて($i - j$人決定していて) $\dots$」は$a_i$の降順(つまり制約の緩い順)に整列して$O(N^3)$。 「大きさ$i$のチームまで構成して$j$人余っていて $\dots$」としてチームを作る順序を上手くやれば計算量が調和級数の和の形になって$O(N^2 \log N)$。
note
- まったく分からず
- 「余ってる人の数を状態に持つ」「チームを大きさごとに構築する」の$2$点が重要な発想だが、後者があれば前者も出てきやすそう
impelementation
#include <bits/stdc++.h>
#define REP(i, n) for (int i = 0; (i) < (int)(n); ++ (i))
#define REP_R(i, n) for (int i = int(n) - 1; (i) >= 0; -- (i))
#define REP3R(i, m, n) for (int i = int(n) - 1; (i) >= (int)(m); -- (i))
using namespace std;
template <int32_t MOD>
struct mint {
int64_t data; // faster than int32_t a little
mint() = default; // data is not initialized
mint(int64_t value) : data(value) {} // assume value is in proper range
inline mint<MOD> operator + (mint<MOD> other) const { int64_t c = this->data + other.data; return mint<MOD>(c >= MOD ? c - MOD : c); }
inline mint<MOD> operator - (mint<MOD> other) const { int64_t c = this->data - other.data; return mint<MOD>(c < 0 ? c + MOD : c); }
inline mint<MOD> operator * (mint<MOD> other) const { int64_t c = this->data * int64_t(other.data) % MOD; return mint<MOD>(c < 0 ? c + MOD : c); }
inline mint<MOD> & operator += (mint<MOD> other) { this->data += other.data; if (this->data >= MOD) this->data -= MOD; return *this; }
inline mint<MOD> & operator -= (mint<MOD> other) { this->data -= other.data; if (this->data < 0) this->data += MOD; return *this; }
inline mint<MOD> & operator *= (mint<MOD> other) { this->data = this->data * int64_t(other.data) % MOD; if (this->data < 0) this->data += MOD; return *this; }
inline mint<MOD> operator - () const { return mint<MOD>(this->data ? MOD - this->data : 0); }
mint<MOD> pow(uint64_t k) const {
mint<MOD> x = *this;
mint<MOD> y = 1;
for (uint64_t i = 1; i and (i <= k); i <<= 1) {
if (k & i) y *= x;
x *= x;
}
return y;
}
mint<MOD> inv() const {
return pow(MOD - 2);
}
};
template <int32_t MOD>
mint<MOD> fact(int n) {
static vector<mint<MOD> > memo(1, 1);
while (n >= memo.size()) {
memo.push_back(memo.back() * mint<MOD>(memo.size()));
}
return memo[n];
}
template <int32_t PRIME>
mint<PRIME> inv_fact(int n) {
static vector<mint<PRIME> > memo(1, 1);
while (n >= memo.size()) {
memo.push_back(memo.back() * mint<PRIME>(memo.size()).inv());
}
return memo[n];
}
template <int32_t MOD>
mint<MOD> choose(int n, int r) {
assert (0 <= r and r <= n);
return fact<MOD>(n) * inv_fact<MOD>(n - r) * inv_fact<MOD>(r);
}
template <int32_t MOD>
mint<MOD> permute(int n, int r) {
assert (0 <= r and r <= n);
return fact<MOD>(n) * inv_fact<MOD>(n - r);
}
constexpr int MOD = 998244353;
int solve(int n, vector<int> a) {
vector<int> cnt(n + 1);
for (int a_i : a) {
cnt[a_i] += 1;
}
vector<mint<MOD> > cur(n + 1);
cur[0] += 1;
REP3R (i, 1, n + 1) {
REP_R (j, n + 1) {
cur[j] = j - cnt[i] >= 0 ? cur[j - cnt[i]] : 0;
}
auto prv = cur;
REP (j, n + 1) {
mint<MOD> acc = 1;
for (int k = 0; (k + 1) * i <= j; ++ k) {
acc *= choose<MOD>(j - k * i, i);
cur[j - (k + 1) * i] += prv[j] * acc * permute<MOD>(k + 1, k + 1).inv();
}
}
}
return cur[0].data;
}
int main() {
int n; cin >> n;
vector<int> a(n);
REP (i, n) cin >> a[i];
cout << solve(n, a) << endl;
return 0;
}