AtCoder Regular Contest 017: D - ARCたんクッキー
問題
区間加算更新/区間GCD取得のクエリがたくさん与えられるので処理せよ
解法
差分のGCDを持っていい感じに。 \(O((N + M) \log N)\)。
GCD \(d = \mathrm{gcd}(a_l, a _ {l + 1}, \dots, a _ {r - 1})\) とする。 区間中のすべての \(i, i + 1 \in [l, r)\) に対し \(d \mid | a _ {i + 1} - a_i |\) なのはすぐに気付ける。 となると差分のGCD \(d' = \mathrm{gcd}(|a _ {l + 1} - a_l|, \dots, |a _ {r - 1} - a _ {r - 2}|)\) から目的の \(d\) を復元したくなる。 ここで実は任意の \(i \in [l, r)\) に対し \(d = \mathrm{gcd}(i, d')\) が示せる。 実験してみて上手く引き当てればよい。 よって区間加算更新のsegment木と区間GCD取得のsegment木をそれぞれ持てば計算できる。
証明をしておこう。 \(d \mid \mathrm{gcd}(a_i, d')\) と \(\mathrm{gcd}(a_i, d') \mid d\) を示せばよい。 前者はすべての \(i \in [l, r)\) に対し \(d \mid a_i\) なのでそれら差分も \(d\) で割り切れるため。 後者について。 \(i \in [l, r)\) を固定し任意の \(j \in [l, r)\) に対し \(\mathrm{gcd}(a_i, d') \mid a_j\) を示せばよい。 議論は同様なので \(i \lt j\) とおく。 \(a_j = (a_j - a _ {j - 1}) + (a _ {j - 1} + a _ {j - 2}) + \dots + (a _ {i + 1} - a_i) + a_i\) である。 右辺の項はすべて \(\mathrm{gcd}(a_i, d') \mid a_j\) で割り切れるため左辺もこれで割り切れる。 ただし \(a _ {i + 1} - a_i \le 0\) でも問題ないことに注意。 これで示せた。
メモ
-
$$\mathrm{gcd}( a _ {l + 1} - a_l , \dots, a _ {r - 1} - a _ {r - 2} )$$ を実験してみるところまでは行ったが気付けなかった。実験コードがバグってたのが一因か - 「全てのメンテナンスを実施する日において、メンテナンス実施後、どの製造機も製造するクッキーの枚数が \(1\) 枚以上 \(10^9\) 枚以下である。」これ罠だったりしそうと思ってたらどうやらそうらしい
実装
#include <bits/stdc++.h>
#define REP(i, n) for (int i = 0; (i) < (int)(n); ++ (i))
#define REP_R(i, n) for (int i = int(n) - 1; (i) >= 0; -- (i))
using ll = long long;
using namespace std;
template <class Monoid>
struct segment_tree {
typedef typename Monoid::underlying_type underlying_type;
int n;
vector<underlying_type> a;
const Monoid mon;
segment_tree() = default;
segment_tree(int a_n, underlying_type initial_value = Monoid().unit(), Monoid const & a_mon = Monoid()) : mon(a_mon) {
n = 1; while (n < a_n) n *= 2;
a.resize(2 * n - 1, mon.unit());
fill(a.begin() + (n - 1), a.begin() + ((n - 1) + a_n), initial_value); // set initial values
REP_R (i, n - 1) a[i] = mon.append(a[2 * i + 1], a[2 * i + 2]); // propagate initial values
}
void point_set(int i, underlying_type z) { // 0-based
assert (0 <= i and i <= n);
a[i + n - 1] = z;
for (i = (i + n) / 2; i > 0; i /= 2) { // 1-based
a[i - 1] = mon.append(a[2 * i - 1], a[2 * i]);
}
}
underlying_type range_concat(int l, int r) { // 0-based, [l, r)
assert (0 <= l and l <= r and r <= n);
underlying_type lacc = mon.unit(), racc = mon.unit();
for (l += n, r += n; l < r; l /= 2, r /= 2) { // 1-based loop, 2x faster than recursion
if (l % 2 == 1) lacc = mon.append(lacc, a[(l ++) - 1]);
if (r % 2 == 1) racc = mon.append(a[(-- r) - 1], racc);
}
return mon.append(lacc, racc);
}
};
struct gcd_monoid {
typedef ll underlying_type;
ll unit() const { return 0; }
ll append(ll a, ll b) const { return a and b ? __gcd(a, b) : a ? a : b; }
};
template <class OperatorMonoid>
struct dual_segment_tree {
typedef typename OperatorMonoid::underlying_type operator_type;
typedef typename OperatorMonoid::target_type underlying_type;
int n;
vector<operator_type> f;
vector<underlying_type> a;
const OperatorMonoid op;
dual_segment_tree() = default;
dual_segment_tree(int a_n, underlying_type initial_value, OperatorMonoid const & a_op = OperatorMonoid()) : op(a_op) {
n = 1; while (n < a_n) n *= 2;
a.resize(n, initial_value);
f.resize(n - 1, op.unit());
}
underlying_type point_get(int i) { // 0-based
underlying_type acc = a[i];
for (i = (i + n) / 2; i > 0; i /= 2) { // 1-based
acc = op.apply(f[i - 1], acc);
}
return acc;
}
void range_apply(int l, int r, operator_type z) { // 0-based, [l, r)
assert (0 <= l and l <= r and r <= n);
range_apply(0, 0, n, l, r, z);
}
void range_apply(int i, int il, int ir, int l, int r, operator_type z) {
if (l <= il and ir <= r) { // 0-based
if (i < f.size()) {
f[i] = op.append(z, f[i]);
} else {
a[i - n + 1] = op.apply(z, a[i - n + 1]);
}
} else if (ir <= l or r <= il) {
// nop
} else {
range_apply(2 * i + 1, il, (il + ir) / 2, 0, n, f[i]);
range_apply(2 * i + 2, (il + ir) / 2, ir, 0, n, f[i]);
f[i] = op.unit();
range_apply(2 * i + 1, il, (il + ir) / 2, l, r, z);
range_apply(2 * i + 2, (il + ir) / 2, ir, l, r, z);
}
}
};
struct plus_operator_monoid {
typedef ll underlying_type;
typedef ll target_type;
ll unit() const { return 0; }
ll append(ll a, ll b) const { return a + b; }
ll apply(ll a, ll b) const { return a + b; }
};
int main() {
// init
int n; cin >> n;
dual_segment_tree<plus_operator_monoid> a(n, 0);
REP (i, n) {
int a_i; cin >> a_i;
a.range_apply(i, i + 1, a_i);
}
segment_tree<gcd_monoid> delta(n - 1);
REP (i, n - 1) {
delta.point_set(i, abs(a.point_get(i + 1) - a.point_get(i)));
}
// query
int m; cin >> m;
while (m --) {
int t, l, r; cin >> t >> l >> r;
-- l;
if (t) {
a.range_apply(l, r, t);
if (l > 0) delta.point_set(l - 1, abs(a.point_get(l) - a.point_get(l - 1)));
if (r < n) delta.point_set(r - 1, abs(a.point_get(r) - a.point_get(r - 1)));
} else {
int d = a.point_get(l);
if (r - l >= 2) {
d = __gcd(d, (int)delta.range_concat(l, r - 1));
}
cout << d << endl;
}
}
return 0;
}