AOJ 2235: Graph Construction
solution
平方分割。union-find木。$O(K \sqrt{K})$。
永続union-find木ではどうにもならない。 もっとやばい動的木は考えたくもない。 なのでやはり平方分割。
長さ$\sqrt{K}$の区間$[l, r)$を処理するとする。 削除クエリが面倒なので次のように辺を分ける: 区間中で常に存在し続ける辺の集合を$A$、そうではないが左端$l$で存在する辺の集合を$B$とする。 まず$A$の辺を全てunion-find木に突っ込んだ後、クエリを以下のように$B$を更新しつつ順に処理していく。
- 辺$(u, v)$追加クエリ: $B \gets B \cup \{ (u, v) \}$
- 辺$(u, v)$削除クエリ: $B \gets B \setminus \{ (u, v) \}$
- 辺$(u, v)$接続判定クエリ: union-find木に$B$の辺を変更履歴を取りながら全て追加し、接続性を判定し、履歴に従って全て削除する
計算量については以下のようになる。
- $O(\sqrt{K})$個ある区間のそれぞれについて
- union-find木の初期化で$O(K)$
- 区間中の辺の整理に$O(\sqrt{K})$
- 高々$K$個あるクエリ接続判定クエリにおいて
- それを含む区間の分の$O(\sqrt{K})$個の辺の抜き差し
implementation
#include <cassert>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <stack>
#include <tuple>
#include <unordered_set>
#include <vector>
#define repeat(i, n) for (int i = 0; (i) < int(n); ++(i))
#define repeat_from(i, m, n) for (int i = (m); (i) < int(n); ++(i))
using namespace std;
struct disjoint_sets {
vector<int> data;
disjoint_sets() = default;
explicit disjoint_sets(size_t n) : data(n, -1) {}
bool is_root(int i) { return data[i] < 0; }
int find_root(int i) { return is_root(i) ? i : (data[i] = find_root(data[i])); }
int set_size(int i) { return - data[find_root(i)]; }
int union_sets(int i, int j) {
i = find_root(i); j = find_root(j);
if (i != j) {
if (set_size(i) < set_size(j)) swap(i,j);
data[i] += data[j];
data[j] = i;
}
return i;
}
bool is_same(int i, int j) { return find_root(i) == find_root(j); }
};
struct popable_disjoint_sets {
vector<int> data;
stack<pair<int, int> > history;
explicit popable_disjoint_sets(disjoint_sets const & a) : data(a.data) {}
bool is_root(int i) { return data[i] < 0; }
int find_root(int i) { while (not is_root(i)) i = find_root(data[i]); return i; }
int set_size(int i) { return - data[find_root(i)]; }
bool is_same(int i, int j) { return find_root(i) == find_root(j); }
void push(int i, int j) {
i = find_root(i); j = find_root(j);
if (i != j) {
if (set_size(i) < set_size(j)) swap(i,j);
history.emplace(data[i], data[j]);
history.emplace(i, j);
data[i] += data[j];
data[j] = i;
}
}
void pop() {
while (not history.empty()) {
int i, j; tie(i, j) = history.top(); history.pop();
tie(data[i], data[j]) = history.top(); history.pop();
}
}
};
int main() {
// input
int n, k; scanf("%d%d", &n, &k);
vector<int> type(k), u(k), v(k);
repeat (i, k) {
scanf("%d%d%d", &type[i], &u[i], &v[i]);
}
// solve
assert (n < (1 << 16));
auto pack = [&](int u, int v) { return uint32_t(u << 16) + uint32_t(v); };
auto unpack = [&](uint32_t packed) { return make_pair(packed >> 16, packed & 0xffff); };
int sqrt_k = sqrt(k) + 1;
unordered_set<uint32_t> edges;
for (int l = 0; l < k; l += sqrt_k) { // square root decomposition
int r = min(k, l + sqrt_k);
unordered_set<uint32_t> dangling;
repeat_from (i, l, r) {
if (type[i] == 2) {
uint32_t packed = pack(u[i], v[i]);
if (edges.count(packed)) {
edges.erase(packed);
dangling.insert(packed);
}
}
}
disjoint_sets ds(n);
for (uint32_t packed : edges) {
int i, j; tie(i, j) = unpack(packed);
ds.union_sets(i, j);
}
popable_disjoint_sets pds(ds);
repeat_from (i, l, r) {
if (type[i] == 1) {
dangling.insert(pack(u[i], v[i]));
} else if (type[i] == 2) {
dangling.erase(pack(u[i], v[i]));
} else if (type[i] == 3) {
for (uint32_t packed : dangling) {
int i, j; tie(i, j) = unpack(packed);
pds.push(i, j);
}
printf("%s\n", pds.is_same(u[i], v[i]) ? "YES" : "NO"); // output
pds.pop();
}
}
for (uint32_t packed : dangling) {
edges.insert(packed);
}
}
return 0;
}